MGLI Lektion 2: Prädikate und Quantoren
Prädikate
Definition Ein Satz A(x1, ..., xn) der durch Einsetzen von Elementen für die n Variablen zu einer Aussage wird, heisst n-stelliges Prädikat oder Aussageform.
Beispiele
A(x): "x ist ein Land in Europa" ist ein 1-stelliges Prädikat A(Italien) ist wahr, A(USA) ist falsch.
A(x, y): "x ist eine Stadt in y" ist ein 2-stelliges Prädikat A(Rom, Italien) ist wahr, A(Bern, Italien) ist falsch.
Quantoren
Definition ∃ Es se A(x) ein 1-stelliges Prädikat und M eine Menge. Dann ist (∃x ∈ M: A(x)) eine Aussage, die genau dann wahr ist, wenn ein Element in M existiert, so das A(x) warh wird, wenn man dieses Element für x einsetzt. ∃ heisst Existenzquantor.
Beispiel Es sei A(x): “x ist ein Land in Europa”
Defintion ∀ für den Allquantor müssen alle Aussagen mit den Werten aus der Menge wahr sein.
Konventionen
INNERE KLAMMER WEGLASSEN
ZUSAMMENSCHREIBEN
Die Reihenfolge der Quantoren ist nicht egal!
Es sei denn die Quantoren sind alle vom gleichen Typ.
Beispiel: Es sei M dei Menge aller Studierenden der FHNW, F ein Menge von Filmen un K(x,y) das Prädikat definiert durch “Die Person x hat schon einmal den Film y gesehen.”
Dann bedeutet
∀x ∈ M, ∃y ∈ F: K(x,y)Jeder Studierende der FHNW hat schon einmal einen Film geschaut. oder anders gesagt: “Für jedes x gibt es mindestens ein (oder mehr) y”
Umgekehrt dann
∃y ∈ F, ∀x ∈ M: K(x,y)Es gibt (mindestens) einen spezifischen Film, welchen alle gesehen haben. oder anders gesagt: “Für ein (mindestens) ein x müssen alle y stimmen.”
Genauer Quantoren
Wollen wir sicherstellen dass es genau ein Element gibt mit dem die Aussage stimmt gibt es mehrere möglichkeiten:
Negation quantifzierter Prädikate
x ist ein Land in Europa
dann ist: Alle Länder aus M liegen in Europa.